http://www.math.leidenuniv.nl/~voorlichting/proefstuderen.html Zegel

Euler's formule

Proefstuderen bij Wiskunde

22 februari 2001

Mathematisch Instituut, Niels Bohrweg 1, Leiden

[Routebeschrijving] [Geef je op] [Proefstuderen in Leiden]

Deze middag wordt een onderwerp besproken uit het eerstejaarscollege Caleidoscoop zodat scholieren een goede indruk krijgen van de wiskundestudie. Iedereen kent wel de vraag of het mogelijk is om drie utiliteitsbedrijven (gas, water en electriciteit) en drie huizen zo te verbinden dat de verbindingen elkaar niet kruisen en afgezien van de eindpunten geen punten gemeenschappelijk hebben. Als dit mogelijk zou zijn, zou een simpele beschrijving van de oplossing volstaan. Omdat het echter onmogelijk is, is de situatie veel moeilijker. Je kunt op een gegeven moment de moed opgeven om een oplossing te vinden en concluderen dat er dus wel geen oplossing bestaat. Je kunt ook pogen door een sluitende redenering aan te tonen dat zo'n oplossing niet bestaat. Een dergelijk bewijs is karakteristiek voor de wiskunde. In het geval van genoemd probleem berust het bewijs op een formule die Euler al in de achttiende eeuw voor veelvlakken heeft afgeleid. Tijdens het college zal de formule voor het platte vlak worden bewezen en zal het niet bestaan van een oplossing daaruit worden afgeleid.

Zelfstudie In de gerenoveerde bibliotheek kan de geschiedenis van Euler's formule worden nagespeurd en kan zelfstandig gewerkt worden aan vraagstukken die leiden tot een bewijs van Euler's veelvlakkenformule op voorwerpen zonder gaten zoals bol, kubus en piramide. Hierbij kan individueel of in groepjes gewerkt worden.

Werkcollege De bij de zelfstudie verkregen resultaten worden besproken en waar nodig aangevuld. Verder wordt gewerkt aan een uitbreiding van Euler's formule voor andere voorwerpen zoals autobanden en krakelingen. Zo wordt op een natuurlijke manier het topologische begrip "geslacht van een lichaam" gevonden.

Huiswerkopgaven

Deelnemers aan dit proefcollege worden gevraagd vóóraf de onderstaande opgaven te maken, om vertrouwd te raken met het onderwerp. Op deze manier ben je goed voorbereid op het eerste hoorcollege. Het is niet erg als je niet alle opgaven kunt maken.
  1. Voor welke getallen m en n is het mogelijk om elk van m bedrijven middels een kabel te verbinden met elk van n huizen zo dat de kabels elkaar niet kruisen en de kabels hooguit een eindpunt gemeenschappelijk hebben?

  2. Waarom is het geval m = n = 3 hierbij beslissend?

  3. Kies twee getallen m en n. Teken n punten in het platte vlak en verbind m paren punten. Doe dit zo dat je langs de verbindingen van elk punt naar elk ander punt kunt lopen en de verbindingen elkaar niet snijden. Tel het aantal ontstane gebieden r en probeer, door verschillende waarden voor m en n te nemen, een verband te vinden tussen n, m en r.

  4. Doe hetzelfde als de punten en verbindingen op een bol liggen.

  5. Doe hetzelfde als de punten en verbindingen op de (binnen)band van een fiets liggen.

  6. Hoe zou je de juistheid van je vermoedens kunnen bewijzen?

Programma

12.30-13.00 uur: Welkom (Zaal 104)

13.00-14.00 uur: Opening en hoorcollege (Zaal 401)

14.00-14.45 uur: Uitwerken van collegemateriaal (leeszaal)

14.45-15.00 uur: koffie/thee

15.00-16.00 uur: werkcollege (Zaal 401)

16.00 uur: uitreiking certificaten; afsluiting