Universiteit Leiden
Leraar in Onderzoek

Op deze pagina staan de Leidse initiatieven in het kader van het NWO-project Leraar in Onderzoek. Deze worden in Leiden gecöordineerd door Professor Kallenberg. Op deze pagina staat een aantal aan het Mathematisch Instituut in Leiden uit te voeren projecten. Voor nadere informatie over een specifiek onderzoeksproject kunt u contact opnemen met de begeleider.

1. abc-tripels
   Dit is een onderwerp uit de elementaire getaltheorie. Het staat in verband met het zogenaamde abc-vermoeden, dat op het ogenblik zeer in de belangstelling staat; maar voor dit project is erg weinig voorkennis nodig. Een abc-tripel is een drietal onderling ondeelbare positieve gehele getallen a, b, c met a < b en a + b = c met de eigenschap dat het product r van de verschillende priemdelers van abc groter dan c is. Het `abc-vermoeden' zegt dat de `kwaliteit' q = (log r)/log c van een abc-tripel naar 1 nadert als (a,b,c) over alle abc-tripels loopt.Er zijn vele elementaire vragen die men over abc-tripels kan stellen, zoals: zijn er oneindig veel abc-tripels waarbij a een gegeven positief geheel getal is? Hoeveel verschillende abc-tripels kunnen dezelfde kwaliteit hebben? Een aantal van deze vragen laat een elementaire oplossing toe, maar voor andere is dat minder duidelijk. Een andere vraag is om een overzicht te maken van alle methoden die men heeft om oneindige reeksen abc-tripels te construeren. Dit is echter lastiger, want sommige ervan maken gebruik van vrij geavanceerde wiskunde.
   Begeleiding: Prof. H.W. Lenstra

2. geschiedenis van de wiskunde
   Het kan voor een leraar interessant zijn om zich in een onderwerp uit de geschiedenis van de wiskunde te verdiepen. Er zijn verschillende geschikte onderwerpen op dit gebied te verzinnen. Een bijzonder aantrekkelijk project, dat over de jaren heen verscheidene mensen bezig zou kunnen houden, is de compilatie van een biografisch woordenboek van Nederlandse wiskundigen.
   Begeleiding: Prof. H.W. Lenstra

3. combinatoriek op woorden
   Computers bewaren hun gegevens vaak als rijen van nullen en enen, zg. woorden. Ook de genetische code is een lang woord, opgebouwd uit een alphabet met vier letters. Ook heeft men te maken met meer-dimensionale woorden, of patronen, zoals bijvoorbeeld met foto's. Uit de toepassingsgebieden komen vragen naar voren over woorden, zoals wat de minimale wijze is om het woord vast te leggen of om te beslissen of een woord periodiek is. Onderzoek van sommige van zulke vragen vereist weinig voorkennis, alleen goede intuitie, doorzettingsvermogen en het geduld om een bewijs netjes uit te werken. Het is daarom een geschikt onderwerp voor een leraar die theoretisch onderzoek wil doen.
   Begeleiding: Prof. R. Tijdeman

4. discrete tomografie
   Discrete tomografie is de kunst van het reconstrueren van een driedimensionale figuur vanuit een paar foto's die uit verschillende richtingen zijn genomen. Dit komt veel in de medische wetenschap voor. Met Hajdu uit Debrecen, Hongarije, heb ik nieuw licht op de structuur van de oplossingsverzameling van mogelijke figuren die dezelfde foto's opleveren geworpen. Naar aanleiding daarvan hebben we een algoritme gemaakt dat in de praktijk werkt, maar nog te langzaam is. Wellicht dat iemand met varianten van het algoritme wil experimenteren om te onderzoeken welke aanpak de beste resultaten geeft. Ervaring met programmeren is hierbij wel gewenst.
   Begeleiding: Prof. R. Tijdeman

5. multi-dimensionale kettingbreuken
   Kettingbreuken zijn prachtige hulpmiddelen om rationale benaderingen van getallen te vinden, maar een soortgelijk natuurlijk algoritme voor hogere dimensies, d.w.z. simultane benaderingen, is er niet. De laatste jaren zijn er o.a. door Lenstra, Lenstra en Lovasz, basisreductiealgoritmen ontwikkeld die in sommige opzichten als een vervangingsmiddel werken. Het lijkt me interessant om daarmee te experimenteren om na te gaan welke aanpak in de praktijk de beste resultaten geeft. Enige kennis van programmeren en van kettingbreuken is hierbij wel gewenst.
   Begeleiding: Prof. R. Tijdeman

6. Wiskunde op school
   De huidige belangstelling bij leerlingen voor wiskunde is abominabel. Er wordt al heel veel gedaan om hier iets aan te veranderen. Denk maar aan de Wiskunde Olympiade, de stichting Vierkant voor Wiskunde, de Kangoeroe-wedstrijden enz. enz. Met deze activiteiten worden de leerlingen echter benaderd met Jongens en meisjes, dit is leuke wiskunde. Wie heeft er zin om mee te doen?. Juist door het negatieve beeld dat leerlingen van wiskunde hebben, haken veel leerlingen al bij voorbaat af. De volgende regelmatig voorkomende problemen geven mogelijk aanleiding tot een oplossing:
   • Een collega is ziek en een eerste of tweede klas moet worden opgevangen. Zij mogen namelijk geen vrij krijgen. Vaak is dit onderwijskundig een verloren uur.
   • Het is de laatste les voor de vakantie en de leerlingen en docent hebben absoluut geen zin in een reguliere les.
   • Een hoofdstuk is af en om organisatorische redenen heeft het geen zin aan een volgend hoofdstuk te beginnen.
   • Een leerling in de klas vliegt door de stof heen en gaat zich (en daarna vaak anderen) vervelen.
   • In de tweede fase moeten leerlingen voor wiskunde een praktijkopdracht maken. Alhoewel ook de uitgevers hun best doen geschikte opdrachten in hun boeken op te nemen, zal een hoop materiaal gauw "uitgekauwd" zijn. Het is bovendien te verwachten dat er snel sites op internet zullen verschijnen met uitwerkingen van deze (standaard-) opdrachten.

   Het LIO-project zal in eerste instantie bestaan uit het uitzoeken/sorteren/indelen en toegankelijk aanbieden (internet, een cd of gewoon ouderwets op papier) van geschikt materiaal waar leerlingen in de onderbouw zo een uurtje mee aan de slag kunnen, zonder dat de docent daar nog wat voor hoeft te regelen of uit te zoeken. Als voorbeeld zou je kunnen denken aan het oplossen van Japanse puzzels. De ervaring leert dat de meeste leerlingen dit erg leuk vinden en zo gemakkelijk op een speelse manier een heel uur bezig zijn met wiskundig denken. De afronding van het project zal bestaan uit het evalueren van het effect van deze activiteiten op de houding van leerlingen ten opzichte van wiskunde.
   
   Begeleiding: Dr. H. Finkelnberg en Prof. S. van de Geer